Ejercicios "amistosos"
TEORÍA DE CONJUNTOS
George Cantor, a mediados del Siglo XIX, fue quien formalmente
creó las bases de lo que hoy se denomina la "teoría de conjuntos".
La noción y el lenguaje de los conjuntos se encuentra en las
matemáticas a todos los niveles. Algunos ejemplos son:
<> El conjunto de los dígitos, D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} es un conjunto finito.
<> El conjunto que contiene todos los números enteros entre 1 y 2.
N = { } es un conjunto vacío, Ø.
<> El conjunto de los números Z+ pares primos, P = {2} es
unitario.
<> El conjunto de los números que son las soluciones de la ecuación x² - 8x + 15 = 0
E = {3,5}
<> El conjunto de los puntos de una recta.
<> El conjunto de los puntos de un círculo.
<> El conjunto de los números impares positivos, P = {1,3,5,7,9,11...}
<> El conjunto de los números que al ser divididos por 5 dejan un residuo de 3
R = {3,8,13,18,23...}
Los tres puntos indican que el conjunto continúa teniendo elementos.
Estos son los conjuntos infinitos.
Existen dos formas para describir los elementos de un conjunto:
Por extensión
B = {0,1}
P = {Mecánica, Sistemas, Industrial, Electrónica,
Civil}
T = {Gómez, Ciciliano, Charria, Artigas, Patiño, Dinas,
Zambrano, D'Silva}
Por comprensión
B = {x/x es un símbolo del sistema binario}
P = {x/x es un programa de ingeniería de la Universidad
de Ibagué}
T = {x/x es jugador del DT campeón 2003}
Pertenencia: 1 Є B
Civil Є P
Gómez Є T
Determinar a qué clase de conjunto corresponden los siguientes:
a) El conjunto de rectas paralelas al eje x
b) B = {x/x²-x-2 = 0}
c) C = {x/x² = 5, x es un Z+}
d) El conjunto de círculos que pasan por el origen (0,0)
e) El conjunto de números que son múltiplos de 7
f) F = {x/x² = 9}
g) G = {x/x²-4x+3 = 0}
h) Con base en los conjuntos anteriores, hallar:
<> B Unión G,
B U
G
<> G Intersección F, G Ç F
<> Partes de G, o conjunto potencia,
p(G)
<> Producto cartesiano, BxF
Cardinal de un conjunto es el número de elementos del conjunto.
Si P = {x/x es un primo par}
entonces h(P) = 1
Si I = {x/x es impar positivo < 10} entonces h(I)
= 5
<> Hallar el cardinal del conjunto de operadores de
telefonía celular en Colombia:
C = {Comcel, MoviStar, Tigo} => h(C)
= 3
<> Hallar el cardinal del conjunto de programas de la facultad de
ingeniería de la Universidad de Ibagué:
I = {Mecánica, Sistemas, Industrial, Electrónica, Civil}
=> h(I)
= 5
<> Hallar el cardinal del conjunto de los jugadores del equipo 'pijao' que
marcaron gol en el histórico partido del 2006: Envigado 3 Vs.
Tolima 7.
J = {Quintero, Escobar, Charria, Alvarez} => h(J)
= 4
<> Otro partido histórico se jugó en Bogotá (abril 8/06):
Millonarios 0 Vs. Tolima 3. ¿Cuántos jugadores marcaron gol?.
K = {Anchico} => h(K)
= 1
Una aplicación importante del cardinal de conjuntos es en la solución de problemas como los siguientes:
<> En una compuferia se rebajó el precio de un PC y el de una impresora. La contabilidad al final de un día registró que 70 personas habían comprado PC; 20, impresora y 15 personas ambos equipos.
a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
b) ¿Cuántas personas compraron solamente el PC?
c) ¿Cuántas personas compraron solamente la impresora?
P = {x/x compró PC}
I = {x/x compró impresora}
h(P U I)= h(P)
+ h(I)
- h(P
Ç
I)
= 70 + 20 - 15
= 75
Únicamente compraron impresora : 20 - 15 = 5
Únicamente compraron computador: 70 - 15 = 55
<> En una encuesta realizada a 100
estudiantes de la Facultad de Ingeniería se produjeron las siguientes
estadísticas:
32 tienen dirección de e-mail en
yahoo.com
20 tienen dirección en gmail.com
45 tienen dirección en hotmail.com
15 tienen correo en yahoo y en hotmail
7 tienen correo en yahoo y en
gmail
10 tienen correo en hotmail y en gmail
30 no tienen dirección de correo
electrónico.
Dibujar el diagrama de venn
correspondiente y determinar matemáticamente:
a) ¿Cuántos estudiantes tienen exactamente una dirección de e-mail?
48
b) ¿Cuántos estudiantes tienen e-mail en los tres servidores?
5
c) ¿Cuántos tienen más de una dirección electrónica?
22
d) ¿Cuántos tienen dirección de correo electrónico?
70
<> En una encuesta de 60 profesores, se encontró que 25 leen El Tiempo, 26 leen Tolima 7Dias y 26 leen Nuevo Día. También 9 leen tanto El Tiempo como Nuevo Día, 11 leen tanto El Tiempo como Tolima 7Dias, 8 leen tanto Tolima 7Dias como Nuevo Día, y 8 no leen ninguno de los tres periódicos.
a) ¿Cuál es el número de profesores que leen los tres periódicos?
b) ¿Número de profesores que leen exactamente un periódico?
c) Representar los conjuntos en diagrama de Venn y escribir los
números correctos de lectores en cada una de las 8 regiones.
<> 500 estudiantes del Programa de Ingeniería de Sistemas fueron
encuestados obteniendo los resultados siguientes:
100 programan en Lenguaje Java
270 programan en Lenguaje C++
200 programan en Lenguaje Visual FoxPro
30 programan en C++ y en Java, pero no en VFP
20 programan en C++ y en VFP, pero no en Java
20 programan en los tres lenguajes
40 programan sólo en Java.
a) ¿Cuántos estudiantes programan en un sólo lenguaje?
b) ¿Cuántos programan en Java y VFP?
c) ¿Cuántos programan sólo en C++?
d) ¿Cuántos no programan en ningún lenguaje?
